一个真实却又有些荒谬的故事：

一位通用旗下品牌庞蒂亚克汽车用户，发现每当他购买香草口味的冰激凌后，他的汽车就无法启动。于是这位顾客给通用写了两封投诉邮件，并在第二次发送邮件后，成功揭开了汽车与冰激凌之间的关系谜团。

(资料图)

图片来源：图虫创意

顾客的投诉邮件

这位顾客家有个传统：每天晚饭后一家人开车去吃冰激凌，并且每天晚上买不同口味的冰激凌。但是当他去买冰激凌时发现了一个问题：每当买香草冰激凌，汽车都不启动，但如果买其他口味的冰激凌，汽车就会很好地启动。

汽车公司的经理虽然很怀疑事情的真实性，但还是派了一位工程师调查这个问题。

工程师和车主见了面，约定一起去买香草冰激凌，他们到了商店，买完冰激凌，发现车真的不启动了。

工程师尽量还原场景，并连着三天晚上开车去买冰激凌。

第一晚，买巧克力味的，车启动了。第二晚，买草莓味的，车启动了。第三晚，买香草味的，车不启动。

这到底是怎么回事？经过仔细地勘察和分析，工程师发现，买香草冰激凌所用的时间远比买其他口味的要短。

香草冰激凌卖得最好，它被放在商店离门口很近的地方，不需要找，直接拿起来付账即可。

购买时间又和车的启动有什么关系？工程师对这个顾客的汽车进行检查，发现了“气阻”的问题。气阻通常在发动机较热时出现，如果汽车的供油系统中出现气阻，引擎吸燃料时燃料的供应会变得断断续续，汽车会因此无法启动或者在行进时熄火。

这位顾客购买的庞蒂亚克汽车就有气阻的问题。购买其他口味冰激凌花费的时间足以让引擎冷却从而让车顺利启动，而当顾客购买香草冰激凌时，时间短，引擎太热，气阻无法及时消失，汽车因此无法启动。

工程师解决了顾客汽车的气阻问题，这位顾客以后在购买任何口味的冰激凌时，再也没有出现车无法启动的情况。

大部分人看完上文中的故事的收获是：有时候问题看起来无解，但在冷静思考后会发现它的确可以被解释。如果从数学思维深入分析就会发现，故事中包含了一个数学概念——条件独立。

学会条件独立思维，避免陷入混乱

条件独立和条件概率有关。我先介绍什么是条件概率。条件概率通常写成P( A|C ) 的形式，即在事件C发生的情况下，事件A发生的概率。

例如，下雨天通常选择打车上班。在这个例子里，C就是“下雨天”，A就是“打车”，而P( A|C ) 就是一个接近1的概率值（下雨天通常会打车）。如果去掉C下雨天这个条件，P( A ) 就是通常情况下你打车的概率。明显可以看出，P( A|C ) 和 P( A ) 是不同的。

知道了什么是条件概率，我们就可以给出条件独立的定义。在数学上，如果事件A和事件B关于事件C条件独立，那么有：

P( B|A, C ) = P( B|C )

P( A|B, C ) = P( A|C )

P( B|A, C ) 是在事件A和事件C同时发生的情况下事件B发生的概率，P( B|C ) 是在事件C发生的前提下事件B发生的概率。这个公式告诉我们，在条件独立的情况下，这两个概率是相同的。

这样说有些抽象，我们来举个例子：

一项调查发现，每当伦敦的出租车驾驶员穿夹克，发生车祸的概率都会大大增加。很多人猜想是穿夹克导致驾驶员的操作不便，从而增加了事故发生率。后来又经过仔细研究发现：下雨天，驾驶员经常穿夹克；下雨时，发生车祸的概率大。

这个例子中，事件A是“穿夹克”，事件B是“发生车祸”，事件C是事件背后共同的原因：“下雨天”，三者的关系如图 7-2 所示，

也就是说，我们知道了“下雨天”，自然就可以推断出“发生车祸”的概率比较高，并且“驾驶员穿夹克”实际上并不能帮助我们更好地推测“发生车祸”的概率。

因此，“穿夹克”（事件A）和“发生车祸”（事件B）这两个事件之间没有因果关系，它们关于“下雨天”（事件C）条件独立。

总结一下，如果事件A和事B关于事件C条件独立，那么在知道事件C发生的前提下，知道事件A或事件B中的一个是否发生，并不能帮助我们更好地推断出另外一个事件发生的概率。

这就是条件独立的核心思想。

生活中常见的条件独立案例

如果有一天你家里没人，并且电器发生自燃、引发了火灾，你的左右邻居看到后，都有一定概率会拨打报警电话，但是他们之间不会询问对方是否打过报警电话。

这个例子中有三个事件：事件A“邻居A报警”，事件B“邻居B报警”和事件C“房屋着火”。在这三个事件中，如果我们知道了“房屋着火”，那么我们立刻可以推断“邻居A报警”的概率很高。知道“邻居B报警”，并不能帮助我们推断出“邻居 A 报警”的概率。

也就是说，“邻居A报警”和“邻居B报警”关于“房屋着火”条件独立。

再来看个条件独立的例子：

心理学上有一个情绪ABC理论。这是美国心理学家阿尔伯特·艾利斯（Albert Ellis）提出的一种情绪调节法。这里的A代表激发事件（Activating event），是引发情绪和结果C的间接原因，而引起结果C的直接原因则是个体基于对激发事件A的认知和评价所产生的信念B。（见图7-5））

假如一个小学生学习不够努力、成绩不好，他的父母自然感到很生气。很明显，学习不够努力、成绩不好，就是父母生气的直接原因。

可是，仔细分析后会发现，上文的推理过程并不完全正确。可能孩子学习不好并不会直接让家长郁闷，让家长郁闷的推理链的中间还有一环，那就是家长的认知。在已知“家长的认知更全面”的前提下，知道“孩子的成绩”，并不能帮助我们更好地推测“家长的反应”。

也就是说，“孩子的成绩”（事件A）和“家长的反应”（事件C）关于“家长的认知”（事件B）条件独立。

回到开头买香草冰激凌汽车就启动不了的问题：

其中事件A是“购买香草冰激凌”，事件B是“车启动不了”，事件C是“购买时间短”。

“车启动不了”的内在原因是“购买时间短”，而不是“购买香草冰激凌”。在“购买时间短”这个事件发生的前提下，知道“购买香草冰激凌”并不能帮助我们更好地推断“车启动不了”的概率。

所以，“购买香草冰激凌”（事件A）和“车启动不了”（事件B）关于“购买时间短”（事件C）条件独立。

综合上述生活中的案例，我们不难看出，两个事件看似相关，实则关于另外一个事件条件独立的情况非常普遍。如果意识不到这一点，就很容易犯把“相关性”当成“因果性”的错误。学会条件独立的数学思维，才能帮助我们有效避免陷入混乱。

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作者：北京航空航天大学副教授、博士生导师 刘雪峰

审核：华中师范大学数学与统计学学院 副教授 邓清泉